Kvantitatīvā izglītība

 

Par mūsu sabiedrības visai apšaubāmo kvantitatīvās izglītības līmeni (ang. quantitative literacy) liecina ciparu vīrusa plašā izplatība politiķu, žurnālistu, ierēdņu un pat dažu zinātnieku leksikā. Šķiet, ka pirmais šo vīrusu apgrozībā palaida Aivars Guntis Kreituss.

 

Ciparu vīruss

Tas izrādījās tik virulents, ka tagad būs grūti atrast žurnālistu vai politiķi, kurš ar to nebūtu inficēts. Firmu investīciju apjomi tiek ilustrēti ar cipariem, darba vietu skaits tiek dēvēts par ciparu. Uzņēmuma peļņa izteikta ar tiem vai citiem cipariem utt. Latviešu valodas vārds skaitlis tiek padzīts no mūsu leksikas un aizstāts ar ciparu. Tādēļ nebūs lieki atgādināt, ka decimālajā skaitīšanas sistēmā mēs lietojam desmit arābu ciparus 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, bet binārajā – tikai divus – 0, 1.

Vieni un tie paši cipari dažādā sakārtojumā apzīmē atšķirīgus skaitļus, kuru vienādošana vienādo ciparu dēļ ne ar ko nav attaisnojama. Pavisam smieklīgi skan apgalvojums, ka cipars 521 ir lielāks par ciparu 125. Tikpat dīvaini skan apgalvojums, ka zinātnei atvēlētais valsts budžeta cipars 0,2 procenti no iekšzemes kopprodukta turpmākajos gados jāpaaugstina, lai sasniegtu 1 procentu.

 

Mērskaitļu dīvainības

Gan ikdienā, gan zinātnē operējam ar kvantitātēm, kuras interpretējamas kā zināmu lielumu salīdzinājumi ar noteiktiem etaloniem – mērvienībām. Zemes platības tiek izteiktas hektāros vai kvadrātkilometros, ķermeņa masa – gramos, kilogramos vai tonnās. Elektrisko strāvu spriegumi – voltos vai kilovoltos utt. Lai pareizi operētu ar mērskaitļiem, precīzi jāievēro etalonu, t. i., izmantoto mērvienību savstarpējās attiecības. Īpaši uzmanīgam jābūt ar mērvienībām, kuras nepieder metriskajai sistēmai. Spilgtu liecību par tulkotāju un redaktoru kvantitatīvās izglītības līmeni sniedz Žila Verna grāmatā Žangada sastopamie elektrisko zušu un skudrulāču raksturlielumi. Tur lasāms, ka elektrisko zušu garums sasniedzot 20 pēdas, platums – 8 sprīžus, skudrulāču nagu garums – 5 sprīžus.

Rodas jautājums, kādi ir šo dzīvo būtņu izmēri metriskajās vienībās? Ja ar pēdu domāta angļu pēda (foot), tad mums būs darīšana ar gigantiskiem radījumiem, kuru garums svārstās no 4,5 līdz 6 metriem. Neskaidrs paliek jautājums par elektrisko zušu platumu un skudrulāču nagu garumu. Franču mēra sistēmā tāda mērvienība kā sprīdis nav atrodama, tas pats sakāms par angļu mēriem. Ja ar sprīdi saprotam pieauguša cilvēka sprīža vidējo garumu, tad šis etalons nebūs mazāks par 15 cm. Tātad elektrisko zušu platums nebūs mazāks par 1,2 m, bet skudrulāča nagu garums sasniegs 75 cm. Jāšaubās, vai Žils Verns būtu paudis šādas zooloģiskas aplamības. Tas izskaidrojams ar grāmatas tulkotājas Mirdzas Ersas kvantitatīvās izglītības trūkumiem.

Par kvantitatīvās izglītības kuriozu jānosauc grāmatas Atveseļojies pats! sastādītājas un redaktores T. Laubes rekomendācija kāda ārstnieciska preparāta sagatavošanai. Lasītājam tiek dots norādījums izšķīdināt 8 g medus 8 mg ūdens! Šajā pašā darbā jauktas tādas mērvienības kā dekalitri un decilitri, lasāmas arī citas dīvainības.

Ar daudz sarežģītāku kvantitatīvās izglītības problēmu saduramies jautājumos, kas attiecas uz sakaru tehnikas un informācijas drošības jautājumiem. Šeit nereti gadās, ka eksaktas mērvienības objektīvi nav iespējamas, bet vienlaikus pastāv nepieciešamība kādas kvantitatīvas noteiksmes salīdzināt, t. i., tās kaut kādā veidā mērīt. Spilgts piemērs tam ir elektroniskā paraksta drošums.

Ja apgalvo, ka Latvijā tiks ieviests drošs elektroniskais paraksts, tad lasītājam var rasties iespaids, ka šī paraksta drošība ir kas absolūts. Faktiski drošs elektroniskais paraksts tomēr ir apveltīts ar noteiktu nedrošības līmeni, jo tā viltošana (ang. forgery) tāpat ir iespējama. Tātad rodas jautājums, cik īsti drošs, resp., nedrošs, būs mūsu elektroniskais paraksts? Mēs prasām pēc kāda kvantitatīva rādītāja, kas šo drošības līmeni izteiktu.

Nedaudz vienkāršojot situāciju, varam teikt, ka drošības kvantitatīvais rādītājs ir elementāro aritmētisko operāciju skaits, kas nepieciešams, lai izskaitļotu, t.i., atrastu, nezināma elektroniskā paraksta atslēgu jeb paraksta veidošanas algoritmu. Ja nepieciešamo operāciju skaits šāda mērķa sasniegšanai būtu 1 sekstiljons, t. i., 10²¹, tad vismodernākajam datoram būtu jāpatērē vismaz 30 gadi, lai šo uzdevumu veiktu. Šis aprēķins balstās uz pieņēmumu, ka šodien tiek konstruēti datori, kuru darbības ātrums būs triljons aritmētisku operāciju sekundē. Tā kā sekunžu skaits vienā gadā nav lielāks par 32 miljoniem, tad gada laikā šāds dators izpildīs 3,2*10¹⁹ operācijas. Dalot 10²¹ ar 3,2*10¹⁹, dabūsim 31,25, kas izsaka nepieciešamo gadu skaitu.

Mūsu atbilde tomēr rāda, cik relatīvs ir šāds augstas drošības rādītājs. Atliek tikai pacelt datora ātrdarbību par vienu vai divām kārtām, un drošais elektroniskais paraksts kļūs ārkārtīgi nedrošs.

 

Kvantitātes un skaitļi

Mūsu izpratne par kvantitātēm, par lielumiem primāri balstās uz jēdzienu skaits, kas abstrahēts no mūsu pieredzes, darbojoties ar viendabīgu priekšmetu kopām, t. i., skaitot lopus ganāmpulkā, bērnus ģimenē, zvērādas noliktavā, karotāju skaitu ciltij utt. Tā nonāca pie jēdziena naturāls skailtis jeb dabisks skaitlis. Decimālajā skaitīšanas sistēmā tos pierakstām ar jau pieminētajiem desmit arābu cipariem, bet binārajā jeb diviskajā skaitīšanas sistēmā – ar cipariem 0 un 1. Naturālo skaitļu fundamentālo nozīmi ievērojamais vācu matemātiķis Leopolds Kronekers (1823.–1891.) izteica ar šādu sentenci: - Dievs radīja naturālos skaitļus, pārējais ir cilvēku roku darbs.

Nākošā pakāpe mūsu izpratnē par kvantitātēm saistās ar naturālo skaitļu attiecībām jeb t. s. racionālajiem skaitļiem: ½, 1/3, ¼, 1/5, 2/3, 2/4, 3/5 utt. Grieķi vairākus gadsimtus pirms mūsu ēras atklāja, ka dažu lielumu izteikšanai arī racionālie skaitļi ir nepietiekami. Viņi pierādīja, ka kvadrāta malas attiecība pret tā diagonāli nav izsakāma ar racionālu skaitli, t. i., ar divu naturālu skaitļu m un n attiecību m/n. Ja kvadrāta malas garums ir 1m, tad tā diagonāles garums būs m. Tātad šo divu nogriežņu garumu attiecība būs , kur ir irracionāls skaitlis, kas pierakstāms kā bezgalīga, nepereodiska decimāldaļa.

Tagad skaitļa jēdziens ar daudzu matemātiķu pūlēm paplašināts līdz t. s. kompleksajiem skaitļiem, kuru loma modernajā zinātnē nav pārvērtējama. Ikdienā cilvēki iztiek ar naturāliem un racionāliem skaitļiem, pēdējos visbiežāk pierakstot decimālskaitļu formā. Pēc lieluma šie skaitļi reti kad pārsniedz miljardu un tikpat reti to vērtība mazāka par vienu miljardo daļu, t. i, 1/10000000000. Taču pašreizējā ikdiena būtiski atšķiras no ikdienas pagātnē. Senie grieķi praktiskās lietas kārtoja tādu kvantitāšu ietvaros, kuru mērskaitļi atradās robežās starp 1/1000 un 1000; nulli viņi par skaitli neuzskatīja. Skaitli 10 000 grieķi apzīmēja ar vārdu miriāde. Tas viņiem šķita tik milzīgs, ka drīz vien ar to apzīmēja kaut ko neskaitāmu. Tā, piemēram, sāka runāt par zvaigžņu miriādēm, par kukaiņu miriādēm u. tml. Arī senajā Krievzemē, runājot par skaitu, kas izsakāms ar 10 000, lietoja izteiksmīgu vārdu – tumsa (kr. ņüģą). Bet jau 17. gs. ņüģą apzīmēja miljonu. Tehnoloģijas attīstība cilvēkus spiež arī ikdienā lietot arvien lielākus un lielākus skaitļus. Mūsdienu jaunieši jau runā par diskiem, kuru kapacitāte izsakāma gigabaitos, t. i., miljardos baitu. Tuvākajā nākotnē paredzams, ka viņi pārspriedīs tādu datoru cenas, kuru operāciju skaits sekundē izteiksies ar triljoniem.

 

Ļoti lielas un ļoti mazas kvantitātes

Pavisam citāda ir mūsdienu fiziķu un astronomu ikdiena. Viņi operē gan ar ļoti lieliem, gan ar ļoti maziem skaitļiem, lai izteiktu tās kvantitātes, kuras nozīmīgas šo zinātņu teorijai un praksei. Astronomi spiesti aplūkot milzīgus attālumus, gigantiskas masas un neiedomājamas intensitātes gravitācijas laukus; fiziķi pēta niecīga izmēra elementārdaļiņas, ārkārtīgi augstas frekvences elektromagnētiskās svārstības un milzīgus enerģētiskos procesus. Zvaigžņu attālumi mūsu galaktikā ir tik milzīgi, ka izteikt tos kilometros nav ērti, tāpēc tiek izmantotas tādas mērvienības kā gaismas gadi (ly) un parseki (pc). Viens gaismas gads ir attālums, kuru gaisma vakuumā noskrien gada laikā, bet parseks ir tāds debess ķermeņa attālums no mūsu saules sistēmas, kura gada paralakse ir 1 sekunde. Kilometros šīs mērvienības izsakāmas ar šādām sakarībām: 1 ly = 9,4605*10¹²km, 1 pc = 3,0856*10¹³ km.

Tātad šīs astronomiskās mērvienības izsakāmas ar kilometru triljoniem. Fiziķi ar līdzīgiem skaitļiem saduras, aplūkojot t. s. cietos (rentgena un gamma) elektromagnētiskos starojumus. Gamma starojuma viļņu garums l izsakāms kā nanometra desmitdaļa (1nm = 10^-9m), bet šī starojuma frekvence h izteiksies ar skaitli 3*10¹⁵, t. i., h = 3 kvadriljoni svārstību sekundē.

Kā ļoti mazas, tā arī ļoti lielas kvantitātes sevī slēpj gan teorētiskas, gan arī praktiskas problēmas. Ģeniālais vācu matemātiķis Bernhards Rīmanis (1826.–1866.) izteica domu, ka ģeometrijas pamatprincipi ļoti mazos telpiskos apgabalos ir atšķirīgi no tiem, kādi pastāv ļoti lielos. Slavenais krievu ģeometrs Nikolajs Lobačevskis (1792.–1856.) savas neeiklīda ģeometrijas attaisnojumu meklēja astronomiskajā telpā, t. i., lielo attālumu pasaulē. Šodien lielie attālumi mūsu uzmanību var piesaistīt no sakaru tehnikas viedokļa.

Pēdējos gadu desmitos astronomi atklājuši, ka mūsu galaktikā ir desmitiem zvaigžņu, ap kurām riņķo planētas. Tātad pastāv iespēja, ka mūsu galaktikas ietvaros Zeme nav vienīgā planēta, uz kuras mājo saprātīgas būtnes. Nākotnē mums tātad var rasties iespēja stāties kontaktos ar citplanētiešiem. Tā kā mūsu saules sistēmas planētas, izņemot Zemi, maz piemērotas augsti attīstītu būtņu attīstībai un eksistencei, tad šie citplanētieši varētu būt meklējami tikai uz citu sauļu, citu zvaigžņu planētām. Taču attālumi līdz tām izsakāmi ar parseku desmitiem. Ja pieņemtu, ka šādas zvaigznes, resp., planētas, attālumi līdz mūsu Zemei ir 20 pc, tad varam iztēloties, kā notiks mūsu kontaktēšanās ar šīs tālās zvaigznes citplanētiešiem. Jautājumi, kurus adresēsim šīm būtnēm, pie tām nonāks tikai pēc 65 gadiem, jo radioviļņu izplatības ātrums nav lielāks par gaismas ātrumu, t. i., nepārsniedz 300 000 km/s. Bet 20 parseki atbilst 65,23 gaismas gadiem. Tātad atbildi no viņiem (pats ātrākais) varam saņemt pēc 130 gadiem, kad jautājumu sūtītāji droši vien būs miruši.

Vai iespējami kādi sakaru veidi, kuri ļautu kontaktēties ar citplanētiešiem īsākā laika sprīdī? Uz to negatīvu atbildi dod modernā relativitātes teorija, kura postulē, ka jebkura signāla izplatīšanas ātrums nevar pārsniegt gaismas ātrumu. Taču tagad divi krievu zinātnieki, G. Šipovs un A. Akimovs, reklamē jaunu fizikālu teoriju, kura noliedz minēto relativitātes teorijas postulātu. Viņi uzskata, ka iespējams konstruēt t. s. torsionu ģeneratorus, kuri ļautu informācijas signālus parraidīt ar neierobežotu ātrumu. Latvijā šos uzskatus propagandē akadēmiķis A. Buiķis. Tomēr jāatzīmē, ka torsionu teorijas secinājumi nevienā eksaktā fizikālā eksperimentā nav apstiprināti, un nopietni fiziķi pret G. Šipova jauno fizikālo teoriju izturas ar pamatotu skepsi.

 

Maģiskie skaitļi

Joprojām ir ne mazums cilvēku, kuri noteiktiem skaitļiem piedēvē maģisku nozīmi. Piemēram, skaitlis 13 jeb t. s. velna ducis tiek apveltīts ar ļaunuma auru; skaitlis 666 jeb tā sauktais zvēra skaitlis tiek uzskatīts par sātana kodu, un tam līdz pat šai dienai tiek meklēts skaidrojums reliģiskos traktātos. Bīstami ir arī pārskaitļi. Jubilāram dāvināmo ziedu nedrīkst būt pārskaitlis, tas pieļaujams bēru ceremonijās nolikto ziedu skaitam. Pārskaitlis neder arī zīlēšanai pēc ziedlapiņām, jo mīl – nemīl pārskaitļa gadījumā beigsies ar nemīl. Savukārt skaitlim 7 tiek piedēvēta labu vēstoša nozīme.

Lai gan šādai skaitļu mistifikācijai nav atrodams racionāls pamats, tā stabili saglabājusies cauri gadsimtiem. Pārskaitļus jau senie grieķi uzskatīja par sabrukšanas, sadalīšanās reprezentantiem, jo tie taču dalās ar divi. Zvēra skaitļa 666 izcelsme saistās ar Jāņa atklāsmes grāmatas jeb Apokalipsis sarakstīšanas laiku, t.i., mūsu ēras 1. gs. Kur meklējama velna duča sākotne, autoram nav zināms.

 

Skaitļu psiholoģiskā nozīme

Reklāmu devēji bieži spekulē uz sabiedrības kvantitatīvās izglītības zemo līmeni. Tā, piemēram, bankas aicina izdarīt depozitāros noguldījumus ar norādi, ka tieši šajā bankā jūs saņemsiet paaugstinātus noguldījumu procentus. Tas klienta ausīm skan ļoti pievilcīgi. Taču īstenībā jūs saņemsiet procentu likmes pazeminājumu, ja to salīdzināsiet ar iepriekšējo gadu vai kādas citas bankas piedāvājumu. Melots nav, jo reklāmā nav norādīts, ar ko jāsalīdzina šīs procentu likmes palielinājums. Lielveikali nereti aicina pircējus uz sezonas noslēguma akciju, deklarējot, ka gandrīz visām (varbūt arī visām precēm) cenas pazeminātas līdz pat 50 procentiem. Šajā gadījumā varat būt drošs, ka vērtīgākajām precēm šis pazeminājums būs vismazākais. Autors par to pārliecinājās, apmeklējot universālveikals Centrs.

Latvijas Radio 1 atkārtoti pārraida lielveikalu tīkla reklāmu: Drogas garantē zemākās cenas. Kārtējo reizi tiek noklusēti tie nosacījumi, pie kuriem klients var izteikt pretenzijas, ja kādā citā veikalā tām pašām precēm cena būs vēl zemāka. Par to pārliecinājusies žurnāliste Sigita Treibere no avīzes Vakara Ziņas.

Banka Baltija savulaik piesaistīja noguldītājus, solot (un arī izmaksājot) augstus noguldījumu procentus, kas sākuma periodā sasniedza pat 90 procentu likmi. Kādreizējā Finanšu ministrijas darbiniece Inguna Sudraba šīs bankas klientiem vēlāk pārmeta iedzīvošanās kāri. Šinī gadījumā noklusēts tika svarīgs kvantitatīvs rādītājs – inflācijas līmenis, kurš toreiz pārsniedza 100 procentus gadā, t. i., ka preču cenas Latvijas Republikā gada laikā dubultojās. Tātad noguldītājs gada beigās kopā ar noguldījuma procentiem saņēma mazāk, nekā bija noguldījis. Tātad lieliska iedzīvošanās! Varbūt subjektīvi dažs labs klients cerēja uz savu ienākumu palielinājumu, taču praksē katrs redzēja realitāti pat bez īpašas rēķināšanas.

 

Mērāmas un nemērāmas kvantitātes

Mūsos attīstījusies stabila tendence visu mērīt, visu izteikt kvantitatīvi ar skaitļu un mērskaitļu palīdzību. Bijuši arī mēģinājumi mērīt skaistumu. Tomēr ne visas parādības izsakāmas ar eksaktiem raksturlielumiem. Kritiski vērtējami arī tādi kvantitatīvie raksturlielumi kā intelekta koeficients (IQ) un inflācijas gada procents. Šo rādītāju izskaitļošana balstīta uz tādu faktoru kompleksa izmantošanu, kuriem ir samērā relatīvs raksturs, līdz ar to attiecīgo rādītāju interpretācija ir diezgan problemātiska. Ko, piemēram, konkrētai namamātei izsaka ekonomistu publicētais paziņojums, ka inflācijas līmenis Latvijā sasniedzis 7 procentus? Vai tad visām precēm, kuras interesē šo namamāti, cenas palielinājušās par septiņiem procentiem? Nekā tamlīdzīga!

Jā, mūsu vēlmēm visu mērīt gan ir savas robežas, taču tādēļ nedrīkst kultivēt praksi aizstāt eksaktus raksturlielumus ar tāda veida kategoriāliem apgalvojumiem un paziņojumiem, kuri maskē parādību būtību. Tādas frāzes kā Latvijas iestājai ES bija liels sabiedrības atbalsts, Baltijas jūra ir ļoti piesārņota, televīzijas skatītāju nospiedošs vairākums atbalstīja Sandras Kalnietes kandidatūru lielā mērā maskē patieso realitāti, un plašsaziņas līdzekļos tās varētu figurēt tikai kā apkopojoši secinājumi, kuri izriet no precīziem kvantitatīviem rādītājiem.

prof. Aivars LORENCS